八字飞镖_飞镖技巧

平面图形的认识（二）“三线八角”图中的同位角、内错角、同旁内角

同位角定义：在截线的同旁，在两条被截线的同侧。形如“F”；

内错角定义：在截线的两侧，在两条被截线的内部。形如“Z”；

同旁内角定义：在截线的同旁，在两条被截线的内部。形如“U”。

具体判别方法：把所要判断的两个角的四条边分别去描出来，必须符合两个角的各有一条边共用一条直线（该直线即为“截线”），两个角的另外两条边即为“被截线”，然后根据定义或者形状分别判定是否为同位角、内错角或同旁内角。另外，在位置上面，这三类角不可能有公共的顶点（比如对顶角、邻补角有公共顶点，它们不可能是同位、内错、同旁内角），它们本无确定的大小关系（比如“同位角相等”、“内错角相等”、“同旁内角互补”这三句话都是错的）。

【经典例题】

例1 如图，若直线a，b被直线c所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角之间是属于哪种特殊位置关系的角？

（1）∠1与∠2是　 　；（2）∠5与∠7是　 　；

（3）∠1与∠5是　 　；（4）∠5与∠3是　 　；

（5）∠5与∠4是　 　；（6）∠8与∠4是　 　；

（7）∠4与∠6是　 　；（8）∠6与∠3是　 　；

（9）∠3与∠7是　 　；（10）∠6与∠2是　 　．

例2 如图，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（　　）

A．4对 B．8对 C．12对 D．16对

平行线的判定：将角的数量关系转化为线的位置关系

判定方法有3种：

同位角相等，两直线平行。（这是条公理，它是从平行线的做法中得到的。）内错角相等，两直线平行。（判定定理，由公理推得。）同旁内角互补，两直线平行。（判定定理，由公理推得。这里有别于同位和内错的相等，而是互补！）

经验一：我们往往可以将所要证明的两条直线描出来，然后再去找合适的截线，然后构造出来的“三线八角”图，进而寻找同位、内错或同旁内角。这里所谓的“合适”，就是要与已知条件中的角联系得上的，甚至联系的角越多越好的截线。

经验二：几何语言一定要规范，比如一定要体现同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能下结论：两直线平行。

【经典例题】

例1 如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是　 　．

例2 如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（　　）

A．66° B．56° C．68° D．58°

例3 如图, ∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，

∠1+∠2 = 90°，试判断AB与CD是否平行，并说明理由.

例4 一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　 　时，CD∥AB．

例5 取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC（∠ACD＝30°），将三角板ABC（∠ACB＝45°）绕点A依顺时针方向旋转一定的角度得到△ABC′，请问：

（1）如图②，当∠CAC′＝15°时，请你判断AB与CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图③，当∠CAC′为多少度时，能使CD∥BC′？并说明理由．（提示：延长BA交CD于点E）．

平行线的性质：将线的位置关系转化为角的数量关系两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。平行于同一条直线的两直线平行。（常用于平行线间有拐线的问题，如“猪手”模型、“子弹”模型。）平行线间的距离处处相等。（通常用于面积问题）

经验一：判定和性质经常综合应用，我们要学会描线、描角，提取基础图形化繁为简；

经验二：有时候，图中并没有现成的截线，那我们通常要添加辅助线，比如过“拐点”作已知直线的平行线、或者延长“拐线”交已知直线进而构造出截线。没有截线，就没有“三线八角图”，没有“三线八角”图就没有同位、内错、同旁内角，就无法判定两直线平行。

经验三：平行线和角平分线（或折叠）这两个条件相组合，常得到等腰三角形。

经验四：常见模型

（1）“猪手”模型、“子弹”模型或更复杂的平行线间带“拐弯”模型（通过添设平行线构造截线或者延长已有拐弯线段构造截线基本可以解决问题）；

平行线间“蝴蝶翅膀”模型

（3）角分线与平行线组合

【经典例题】

例1 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠2﹣∠1＝40°，则∠EFC的度数为（　　）

A．115° B．125° C．135° D．145°

例2 如图，已知DB∥FG∥EC，∠ABD＝70°，∠ACE＝36°，AP是∠BAC的平分线．求∠PAG的度数．

例3 已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：∠AED＝∠C．

例4 一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数为　 　．

例5 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ADC的顶点都在方格纸格点上，

将△ABC向左平移1格．再向上平移1格，

（1）在图中画出平移后的△A′B′C′；

（2）画出AB边上的高CE；

（3）过点A画BC的平行线；

（4）在图中，若△BCQ的面积等于△BCA的面积．则图中满足条件且异于点A的个点Q共有　 　个．（注：格点指网格线的交点）

图形的平移平移的两个要素：平移的方向和距离平移的一些性质：平移属于全等变化，只改变位置，不改变形状和大小；对应边或者对应点连线的数量关系是相等、位置关系为平行或在同一直线上（判断句中经常少“或在同一直线上”那就错了；另外，线段的“关系”往往包括“置位”和“数量”，作答的时候务必要全面）；在同一次平移过程中，所有点平移的方向和距离都是相等的。（可利用此性质作图）

【经典例题】

例1 在下列图形中，周长最长的是（　　）

A．

B．

C．

D．

例2 如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影部分的图形都是底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形.请用含有字母a、b的代数式表示矩形中空白部分的面积。

例3 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向左平移一格，再向上平移3格，其中每个格子的边长为1个单位长度．

（1）在图中画出平移后的△A′B′C′．

（2）若连接AA′、CC′，则这两条线段的关系是　 　．

（3）在整个平移过程中，线段AC扫过的面积为　 　．

认识三角形三角形的分类：按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形（以90°为分界线）按边分：等腰三角形（含两种情况：①有且仅有两条边相等；②三边都相等的三角形即等边三角形）和不等边三角形（三边都不等）

例1 已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是________三角形。

例2 已知△ABC中，∠A=2∠B=3∠C，则△ABC是________三角形。

例3 判断：（1）三角形按边分可以分为等边三角形和不等边三角形。（ ）

（2）一个钝角的是钝角三角形，有一个直角的三角形是直角三角形，有一个锐角的三角形是锐角三角形。（ ）

三角形的三边关系

经验一：判定三条边能否构成三角形较为方便的准则是：较小的两边之和大于第三边。

经验二：求第三边x的取值范围：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。数学不等式为：a-b<x<a+b（a≥b）

经验三：它是“两点之间线段最短”的延伸，今后我们经常用它解决几何最值问题。

经典例题

例1 若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）

A、2cm B、3cm C、6cm D、9cm

三角形中3条重要的线段三角形的角平分：两条角平分线结合的三个常见模型要熟知。角分线是非常重要非常常见的条件，今后我们还有学更多的角平分线模型。三角形的中线：它除了能平分线段，这里更重要的考查是它能平分面积，所以它经常跟面积结合在一起考查，往往还要添设辅助线构造出基本模型。中点是非常重要非常常见的条件，在今后的几何学习中，我们将进一步学习它的相关模型。三角形的高线：它经常考作图题，网格题中利用网格特性作高，最喜欢要求作出钝角三角形的高。高线是计算三角形面积的核心条件之一，我们要给予充分的重视。重要模型

（1）外角模型（它是计算角度、推导角与角之间的数量关系，极为重要的模型）

（2）“八字”模型、“飞镖”模型（作为外角性质的延伸经常在复杂图形中出现，尤其是“八字”模型，熟知这个模型，可提高分析问题的速度。）

（3）折叠问题：重点考虑①重叠部分全等②还原隐去部分③被折叠图形自身性质……

（4）中线平分面积模型（添设辅助线，构造基本模型）

（5）角分线与角分线组合

【经典例题】

例1 如图，在Rt△ABF中，∠F＝90°，点C是线段BF上异于点B和点F的一点，连接AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D，过点C作CE⊥AB交AB于点E，则下列说法中，错误的是（　　）

A．△ABC中，AB边上的高是CE B．△ABC中，BC边上的高是AF

C．△ACD中，AC边上的高是CE D．△ACD中，CD边上的高是AC

例2 在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，CF是∠ACB的平分线，交AD于E，交AB于F，求证：∠AEF＝∠AFE．

例3 如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC＝110°，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

例4 如图，四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数为　 　°．

例5 如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（　　）

A．180° B．270° C．360° D．540°

例6 如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝102°，则∠A的度数是　 　．

例7 如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF⊥BC，且BC＝4cm，OF＝2cm，则四边形ADOE的面积是　 　．

例8 如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是　 　．

例9 如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是3，那么△A1B1C1的面积是　 　．

七、多边形的内角和与外角和

1、三角形的内角和为180°

经验一：它是求角度或者研究角与角之间数量关系非常重要的定理。

经验二：它是多边形内角和公式的根本，也就是说，我们往往通过添设辅助线，将多边形问题转化为三角形问题来解决。这个思想非常重要。

2、多边形的内角和公式：180°（n-2）

经验：此公式简单，一般考查难度较小，但要知晓它的推导思想（将多边形问题转化为三角形问题），以及不同推导方法中，从一个顶点引出（n-3）条对角线，分割出（n-2）个三角形这个分法，从这个分法中，我们还可以习得n边形所有对角线条数公式：n（n-3）/2。

3、多边形的外角和：360°

【经典例题】

例1 如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是　 　．

例2 把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝　 　．

例3 （1）如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；

（2）如图2，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．

综合能力提升

1、我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD（图2）中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．得折线AOC，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为四边形ABCD的一条“好线”．

（1）如图（1），试说明中线AD平分△ABC的面积；

（2）如图（2），请你探究四边形ABCO的面积和四边形ABCD面积的关系，并说明理由；

（3）在图（2）中，请你说明直线AE是四边形ABCD的一条“好线”；

（4）如图（3），若AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出四边形ABCD经过F点的“好线”，并对你的画图作适当说明．

2、定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”．根据此定义，完成下面各题：

（1）若△ABC为半角三角形，且∠A＝90°，则△ABC中其余两个角的度数为　 　；

（2）若△ABC是半角三角形，且∠C＝40°，则∠B　 　；

（3）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点C恰好落在AD边上的点F，若BF⊥AD，则△EDF是半角三角形吗？若是，请说明理由．

3、直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．

（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．

（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．

（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出∠ABO的度数＝　　．

4、某市为了美化亮化某景点，在两条笔直的景观道MN、QP上，分别放置了A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动a度，B灯每秒转动b度，且满足|a﹣4b|+（a+b﹣5）2＝0，若这两条景观道的道路是平行的，即MN∥QP．

（1）求a、b的值；

（2）B灯先转动15秒，A灯才开始转动，当A灯转动5秒时，两灯的光束AM′和BP′到达如图①所示的位置，试问AM′和BP′是否平行？请说明理由；

（3）在（2）的情况下，当B灯光束第一次达到BQ之前，两灯的光束是否还能互相平行，如果还能互相平行，那么此时A灯旋转的时间为　 　秒。